Clase Nº 1

Experimento Aleatorio: es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera. ,es un ensayo o procedimiento a seguir

Espacio Muestral: consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, junto con una estructura sobre el mismo 

Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 Cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos.

Evento: Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.

3 CLASES DE CONJUNTOS

Conjunto Universal
Con el ánimo de evitar confusiones, cuando definimos un conjunto debemos especificar de donde se están tomando los elementos que lo conforman.  Esto significa que debe existir una base de la cual tomamos los elementos, esta base sobre el cual trabajamos es llamada conjunto universal.  Usaremos siempre la letra 

$U$ para representar el conjunto universal.

Por ejemplo, si quieres definir $B$ como el conjunto conformado por las vocales $a$ e $i,$ el conjunto universal podría ser el conjunto de las vocales.  En la figura anterior se muestra cómo puedes usar los diagramas de Venn para representar la relación entre el conjunto $B$ y su conjunto universal $U.$

Observa que el conjunto universal puede tener exactamente los elementos de los conjuntos que abarca o más.

Conjunto vacío

Consideremos la existencia de un conjunto que no tiene elementos, este es llamado conjunto vacío.

Para representar dicho conjunto usamos el reconocido símbolo del vacío, como se muestra en la imagen de la derecha.

También, haciendo uso de la descripción por extención, representamos el conjunto vacío por medio de los corchetes {}.    Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes.

Conjuntos unitarios

El conjunto unitario se distingue por tener solo un elemento.  No importa qué tipo de elemento tenga el conjunto, un gato, un perro, un número, una letra, o cualquier otra cosa, si tiene un solo elemento es llamado conjunto unitario.

Ejemplos:
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.      = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

 El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

 El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n);
 (n,n ,b)}

El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

EJEMPLO #2 

Experimento	Resultados	Eventos
Lanzar un dado	Existen 6 resultados posibles:  {1, 2, 3, 4, 5, 6}	Sacar un número par: {2, 4, 6} Sacar un 3: {3} Sacar un 1 o un 3: {1, 3} Sacar un 1 y un 3: { } (Sólo puede salir un número, por lo que esto es imposible. El evento no contiene resultados.)

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN :

Multiplicación de probabilidades

si se tienen varios eventos sucesivos e independientes entre si, la probabilidad de que ocurra todos ellos a la vez corresponde a la multiplicación de las probabilidades de cada uno de los eventos.

El Principio Fundamental de Conteo

Cuando un experimento consiste en más de un elemento aleatorio, el número de resultados en el espacio muestral es igual al producto de el número de resultados para cada elemento aleatorio.

Ejemplos

·         Lanzar dos dados de 6 lados: Cada dado tiene 6 resultados igualmente probables, entonces el espacio muestral es 6 • 6 o 36 resultados igualmente probables.

·         Lanzar tres monedas: Cada moneda tiene 2 resultados igualmente probables, por lo que el espacio muestral es 2 • 2 • 2 u 8 resultados igualmente probables.

·         Lanzar un dado de 6 lados y una moneda: El espacio muestral es 6 • 2 o 12 resultados igualmente probables

 Diagrama del Arbol

Un diagrama de árbol tiene una rama por cada respuesta posible para cada evento. Para ahorrar espacio, usemos B para Negro, W para blanco, G para verde, P para púrpura, y Y para amarillo.

Sabemos que para poder determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento es necesario conocer el espacio muestral y específicamente su cardinalidad.

Una de las técnica de conteo es el principio multiplicativo, el cual se usa para determinar la cardinalidad de un espacio muestral, es una forma de contar eficientemente.

Observa por un momento el diagrama. Hay 3 opciones de pantalones. Para cada una, hay cuatro opciones de camisas. Eso significa que hay 3 • 4 combinaciones pantalón-camisa. Para cada una de esas 12 combinaciones, existen dos opciones de zapatos. Eso nos da 3 • 4 • 2 combinaciones de pantalón-camisa-zapato, entonces hay 24 posibles combinaciones para vestir.

Supongamos que escogemos pantalones, camisa, y zapatos de manera completamente aleatoria — es decir, hay la misma probabilidad de escoger cualquier pantalón, cualquier camisa, y cualquier par de zapatos. Existen 8 combinaciones de vestimenta en las cuales los pantalones y los zapatos son del mismo color (pantalones y zapatos negros y con cualquiera de las 4 camisas, o pantalones y zapatos blancos con cualquiera de las 4 camisas). La probabilidad de que los pantalones y los zapatos sean del mismo color será:

.

Permutaciones:

Cuando elegimos k de n objetos y el orden importa, el número de permutaciones es

El símbolo "..." significa continuar de la misma manera. En este caso, significa que se continúe multiplicando por el siguiente número completo menor, por n – k + 1.

Combinaciones:

Cuando escogemos k de n objetos en un orden que no importa, el número de combinaciones es el número de permutaciones para k de n objetos dividido entre el número de permutaciones para escoger k de k objetos:

Ejemplo
Problema	Una organización de una escuela tiene 30 miembros. Cuatro miembros serán escogidos al azar para una entrevista con el periódico de la escuela sobre el grupo. ¿Cuántos grupos de 4 personas son posibles?
	combinación		Primero decidir si esta situación es una permutación o una combinación No existe ninguna razón para que una persona sea considerada distinta de otra, por lo que esto es una combinación.
			Existen 30 posibilidades para la primera sacada. Luego 29 posibilidades para la segunda persona, 28 para la tercera, y 27 para la cuarta. El Principio Fundamental de Conteo dice que debemos multiplicar estos resultados para obtener el número de posibilidades
			Sin embargo, ese producto nos da el número de permutaciones, cuando el orden importa. Necesitamos tomar todos los posibles arreglos de 4 personas en particular y usar sólo una representación de cada uno. Para cuatro personas, existen 4 opciones para enlistar a la primera, 3 para la segunda, 2 para la tercera, y sólo 1 opción para la cuarta. El Principio Fundamental de Conteo nos dice cuántas veces un grupo de 4 personas aparecerá en la lista de permutaciones Dividir entre el producto que resulta del Principio Fundamental de Conteo
Solución	¡Existen 27,405 posibles grupos diferentes de 4 personas a partir de 30 miembros!

1. https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_muestral
2. https://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_conjuntos/entender_los_conjuntos/3.do
3. http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U12_L2_T1_text_final_es.html